METODE ANALISIS REGRESI BRGANDA

Regresi Berganda

Pengertian Regresi Berganda

Regresi berganda adalah model regresi atau prediksi yang melibatkan lebih dari satu variabel bebas atau prediktor. Istilah regresi berganda dapat disebut juga dengan istilah multiple regression. Kata multiple berarti jamak atau lebih dari satu variabel.

Banyak para mahasiswa yang salah kaprah dalam memahami istilah tersebut. Dimana tidak bisa membedakan antara multiple regression dengan multivariat regression. Perbedaannya adalah jika multiple regression atau regresi berganda adalah adanya lebih dari satu variabel prediktor (variabel bebas/variabel independen.

Sedangkan multivariat regression atau regresi multivariat adalah analisis regresi dimana melibatkan lebih dari satu variabel response (variabel terikat/variabel dependen).

Jenis regresi Berganda

Regresi berganda sebagai salah satu jenis analisis statistik, banyak sekali macamnya, tergantung pada skala data per variabel. Berikut saya jelaskan satu persatu:

Regresi Linear Berganda

Regresi Linear Berganda adalah model regresi berganda jika variabel terikatnya berskala data interval atau rasio (kuantitatif atau numerik). Sedangkan variabel bebas pada umumnya juga berskala data interval atau rasio. Namun ada juga regresi linear dimana variabel bebas menggunakan skala data nominal atau ordinal, yang lebih lazim disebut dengan istilah data dummy. Maka regresi linear yang seperti itu disebut dengan istilah regresi linear dengan variabel dummy.

Contoh regresi berganda jenis ini adalah: “pengaruh DER dan NPM terhadap Return Saham.”

Baca juga: Jenis Data dan Pemilihan Analisis Statistik dan Pengertian Data Penelitian, Skala Data dan Sumber Data.

Regresi Berganda

Regresi Logistik Berganda

Regresi Logistik berganda adalah model regresi berganda jika variabel terikatnya adalah data dikotomi. Dikotomi artinya dalam bentuk kategorik dengan jumlah kategori sebanyak 2 kategori. Misal: Laki-laki dan perempuan, baik dan buruk, ya dan tidak, benar dan salah serta banyak lagi contoh lainnya.

Sedangkan variabel bebas jenis regresi berganda ini pada umumnya adalah juga variabel dikotomi. Namun tidak masalah jika variabel dalam skala data interval, rasio, ordinal maupun multinomial.

Contoh regresi berganda jenis ini adalah: pengaruh rokok dan jenis kelamin terhadap kejadian kanker paru. Dimana rokok kategorinya ya dan tidak, jenis kelamin kategorinya laki-laki dan perempuan, sedangkan kejadian kanker paru kategorinya ya dan tidak.

Ada dua metode yang sering dipakai dalam jenis regresi berganda ini, yaitu metode logit dan probit.

Regresi Ordinal berganda

Regresi berganda jenis ini adalah analisis regresi dimana variabel terikat adalah berskala data ordinal. Sedangkan variabel bebas pada umumnya juga ordinal, namun tidak masalah jika variabel dengan skala data yang lain, baik kuantitatif maupun kualitatif. Keunikan regresi ini adalah jika variabel bebas adalah data kategorik atau kualitatif, maka disebut sebagai faktor. Sedangkan jika data numerik atau kuantitatif, maka disebut sebagai covariates.

Ada 5 metode perhitungan jenis regresi ordinal yang dapat anda pelajari pada artikel kami yang berjudul: Penjelasan Regresi Ordinal. Contoh regresi berganda jenis ini adalah: pengaruh tingkat penghasilan dan usia terhadap tingkat pengetahuan terhadap IT. Dimana tingkat penghasilan sebagai faktor dengan kategori: rendah, menengah dan tinggi. Usia sebagai covariates dengan skala data numerik. Dan tingkat pengetahuan terhadap IT sebagai variabel terikat berskala data ordinal dengan kategori: baik, cukup dan kurang.

Regresi Multinomial Berganda

Regresi multinomial berganda adalah jenis regresi dimana variabel terikat adalah data nominal dengan jumlah kategori lebih dari 2 (dua) dan variabel bebas ada lebih dari satu variabel.

Jenis regresi ini hampir sama dengan regresi logistik berganda, namun bedanya adalah variabel terikat kategorinya lebih dari dua, sedangkan regresi logistik berganda variabel terikatnya mempunyai kategori hanya dua (dikotomi).

Regresi ini juga mirip dengan regresi ordinal, hanya saja bedanya skala data pada regresi ini tidak bertingkat (bukan ordinal) atau dengan kata lain tidak ada yang lebih baik atau lebih buruk.

Contoh regresi ini adalah: Pengaruh Pendidikan Orang Tua dan Penghasilan Orang Tua terhadap pilihan jurusan kuliah. Dimana pendidikan dan penghasilan orang tua berskala data ordinal dan pilihan jurusan kuliah adalah variabel berskala data nominal lebih dari dua kategori, yaitu: jurusan kesehatan, hukum, sosial, sastra, pendidikan, lain-lain.

Regresi Data Panel Berganda

Dari jenis-jenis di atas, sebenarnya masih ada jenis lain yang merupakan pengembangan dari jenis-jenis di atas, yaitu dengan adanya kompleksitas berupa data time series atau runtut waktu, atau data panel. Seperti yang terjadi pada regresi data panel ataupun regresi cochrane orcutt.

Baca juga: Regresi data panel dan Cochrane Orcutt.

Kalau misalnya regresi linear data panel, jika ada lebih dari satu variabel bebas, maka bisa disebut dengan istilah regresi linear data panel berganda. Namun kebanyakan orang atau peneliti, cukup menggunakan istilah yang umum digunakan, yaitu cukup dengan menyebut sebagai regresi data panel saja.

Aplikasi Perhitungan Regresi Berganda

Ada banyak aplikasi atau software yang dapat anda gunakan untuk menghitung atau melakukan analisis regresi pada berbagai jenis regresi diatas. Seperti halnya SPSS, dapat melakukan semua analisis diatas, kecuali regresi data panel hanya bisa melakukan dengan metode maximum likelihood saja. Jika ingin mengenal SPSS, silahkan baca juga: Tutorial SPSS.

Sedangkan aplikasi lainnya mempunyai daya yang lebih powerfull, karena bisa melakukan semua diatas, seperti STATA dan Eviews. Silahkan anda pelajari regresi linear dengan STATA dan regresi linear dengan eviews.

Aplikasi excel hanya dapat melakukan regresi linear saja, namun mempunyai potensi lebih jika anda menginstall add ins. Silahkan anda pelajari cara aktivasi add ins excel 2010.

Aplikasi minitab adalah aplikasi yang sanggup menjalankan analisis regresi linear berganda. Silahkan pelajari regresi linear berganda dengan minitab.

Kesimpulan Regresi Berganda

Kesimpulannya adalah dikatakan regresi berganda jika variabel bebas lebih dari satu. Regresi berganda berbeda dengan regresi multivariat. Regresi multivariat adalah regresi jika variabel terikat lebih dari satu.

Demikian diatas telah kita bahas bersama perihal regresi berganda dan jenis serta contohnya. Silahkan anda aplikasikan dalam upaya penyelesaian tugas akhir anda karena saya yakin anda saat ini sudah mengerti perihal berbagai jenis regresi. Semoga bermanfaat.

METODE BEDA HINGGA

Metode Beda Hingga untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial


Artikel ini membahas tentang salah satu metode numerik untuk menyelesaian persamaan diferensial parsial yaitu metode beda hingga. Di bagian awal disajikan tentang dasar dasar dalam persamaan diferensial parsial, kemudian formulasi metode beda hingga, dan ditutup dengan contoh sederhana penerapan metode beda hingga dalam menyelesaikan persamaan adveksi yang banyak digunakan dalam memodelkan masalah transpor polutan.

1 Pendahuluan

Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial yang memiliki dua atau lebih variabel bebas. Berikut contoh persamaan diferensial parsial
a(t,x,y)Ut + b(t,x,y)Ux + c(t,x,y)Uyy = f(t,x,y) (1)
Keterangan: • t,x,y adalah variabel bebas. • a,b,c, dan f adalah fungsi yang bergantung pada variabel bebas dan diketahui. • U adalah variabel tak bebas dan fungsi yang belum diketahui. • ut,Ux,Uyy adalah turunan-turunan parisal dari U. Order dari suatu PDP adalah orde dari turunan parsial tertingginya. PDP dikatakan linear jika U dan turunan-turunan parsial nya memiliki hubungan linear. Dimensi dari suatu PDP adalah banyaknya variabel bebas spasial. Sebagai contoh pada persamaan (1) adalah PDP orde 2 (turunan parsial tertingginya adalah Uyy), linear, dan berdimensi 2 (ada 2 variabel spasial yaitu x dan y).
1


2 Solusi dan beberapa model PDP
Solusi dari PDP dapat berupa solusi analitik (eksak) dan solusi numerik (aproksimasi). Solusi analitik adalah fungsi yang memenuhi PDP dan syarat batas dan/atau syarat nilai awal pada PDP. Sedangkan solusi numerik (analitik) dibuat pada nilai diskret dari variabel bebas berupa grid (mesh) dan diimplementasikan dalam program komputer. Model-model dalam PDP banyak mendeskripsikan fenomena fisik, diantaranya:
i Persamaan Laplace, digunakan untuk memodelkan kestabilan konduksi panas.
ii Persamaan diferensial adveksi, untuk memodelkan transpor polutan.
iii Persamaan Maxwell, untuk memodelkan gelombang elektromagnetik.
iv Persamaan Navier-Stokes. untuk memodelkan aliran fluida.
3 Masalah Nilai Batas dan Masalah Nilai Awal
Suatu PDP dikatakan well-posed problem jika memiliki nilai awal (IC) atau nilai batas (BC) fungsi dan memiliki solusi yang tunggal. Terlalu banyak masalah nilai IC/BC yang diberikan akan menyebabkan solusi tidak ada. Namun jika terlalu sedikit dapat menyebabkan solusi tidak tunggal. Jika IC/BC diberikan pada daerah yang yang salah atau di variabel waktu yang salah maka solusi tidak akan bergantung pada IC/BC tersebut, dan sedikit kesalahan dalam IC/BC akan menyebabkan perubahan solusi yang besar. Masalah ini dikenal sebagai ill-posed problem.
4 Klasifikasi PDP
PDP orde 2 dapat diklasiikasikan dalam 3 tipe: Eliptik, Parabolik, dan hiperbolik. Berikut contoh contoh dari tipe-tipe tersebut:
a PDP Eliptik : Uxx + Uyy = f(x,y), persamaan ini disebut persamaan Poisson, jika f(x,y) = 0 maka disebut persamaan Laplace. Persamaan ini digunakan untuk memodelkan kestabilan penyebaran suhu di bidang atau aliran potensial 1D incompressible. Persamaan ini memerlukan nilai batas di setiap titik di batas. Nilai batas dapat berupa nilai U atau turunan U di batas.
b PDP Parabolik : Ut = kUxx, Model persamaan difusi 1D, biasanya digunakan untuk model penyebaran suhu yang bergantung waktu sepanjang garis 1D. Persamaan ini memerlukan IC di waktu awal (t = 0) dan satu BC di akhir titik domain spasial.
2
c PDP Hiperbolik: Utt = kUxx, persamaan ini merupakan persamaan gelombang, dapat digunakan untuk memodelkan getaran pada tali gitar atau airan supersonik 1D.
5 Notasi Diskret
Dalam catatan ini digunakan huruf U besar untuk menyatakan solusi analitik dan huruf u untuk menyatakan solusi aproksimasimasi. un i,j menyatakan solusi numerik di grid (x,y) di daerah 2D pada level waktu n.
6 Pemeriksaan hasil
Sebelum mengaplikasikan skema numerik pada masalah real yang dimodelkan dengan PDP, ada 2 langkah penting yang perlu dilakukan, yaitu:
1. Verifikasi, adalah pemeriksaan apakah program melakukan apa yang diharapkan dengan mencoba membandingkan dengan hasil hitungan pulpen dengan hasil komputasi untuk bilangan yang kecil. Verifikasi dapat pula dilakukan dengan membandingkan solusi yang diperoleh dengan solusi analitik yang diperoleh .
2. Validasi, dilakukan dengan membandingkan hasil dengan kondisi dalam situsi real apakah hasil numerik yang diperoleh dapat menggambarkan dengan baik fenomena real. Hasil real diperoleh dengan melakukan percobaan dalam laboratorium.
7 Penurunan Formula
Metode beda hingga bekerja dengan merubah daerah variabel bebas menjadi grid berhingga yang disebut mesh dimana variabel dependen diaproksimasi. Berikut diberikan konstruksi dari penurunan formula beda hingga. Misalkan U adalah fungsi bergantung pada x dan t. Dengan menggunakan formula Taylor, akan dikonstruksi turunan parsial U terhadap x.
U(t,x0+∆x) = U(t,x0)+∆xUx(t,x0)+
∆x2 2!
Uxx(t,x0)+...+
∆xn−1 (n−1)!
Un−1(t,x0)+O(∆xn). (2)
Dengan memangkas (2) pada O(∆x2) diperoleh
U(t,x0 + ∆x) = U(t,x0) + ∆xUx(t,x0) + O(∆x2). (3)
3
Dari persamaan (3) diperoleh
Ux(t,x0) =
U(t,x0 + ∆x)−U(t,x0) ∆x −O(∆x). (4) Dalam skema numerik, variabel x dipartisi menjadi diskret yang disebut grid, x1,x2,...,xN dan t dipartisi pada level 0 = t0,t1,t2,...,tM. Jika ∆x diasumsikan konstan dan xi+1 = xi + ∆x, maka dari (4) diperoleh
Ux(tn,xi) =
U(tn,xi+1)−U(tn,xi) ∆x −O(∆x). (5)
Dengan mengabaikan bentuk O(∆x) sebagai bentuk error. Kita peroleh
Ux(tn,xi) ≈
U(tn,xi+1)−U(tn,xi) ∆x
(6)
Bentuk (6) disebut aproksimasi beda maju orde 1 untuk Ux(tn,xi). Selanjutnya dengan mengganti ∆x menjadi −∆x pada (2) diperoleh
Ux(t,x0) =
U(t,x0)−U(t,x0 −∆x) ∆x
+ O(∆x). (7)
Dengan mengevaluasi di (tn,xi) dan melakukan aproksimasi pada (7) diperoleh
Ux(tn,xi) ≈
U(tn,xi)−U(tn,xi−1) ∆x
. (8)
Bentuk (8) dikenal sebagai aproksimasi beda mundur orde 1 untuk Ux(tn,xi). Selain bentuk (6) dan (8) kita juga dapat meningkatkan order aproksimasi agar lebih akurat dengan mengambil pemangkasan deret Taylor untuk O(∆x3) dari bentuk (2), dengan menggunakan ∆x dan −∆x,
U(t,x0 + ∆x) = U(t,x0) + ∆xUx(t,x0) +
∆x2 2!
Uxx(t,x0) + O(∆x2), (9)
U(t,x0 −∆x) = U(t,x0)−∆xUx(t,x0) +
∆x2 2!
Uxx(t,x0)−O(∆x3). (10) Dengan mengurangkan persamaan (9) dan (10) diperoleh
Ux(t,x0) =
U(t,x0 + ∆x)−U(t,x0 −∆x) 2∆x −O(∆x3). (11)
Dengan melakukan aproksimasi bentuk (11) di (tn,xi) diperoleh persamaan beda pusat orde 2 sebagai berikut
Ux(tn,xi) ≈
U(tn,xi+1)−U(t,xi−1) 2∆x
. (12)
4
Kita dapat pula mengkonstruksi turunan parsial untuk orde lebih tinggi dengan melakukan pemangkasan untuk O(∆x4) dan dengan menggunakan ∆x dan ∆x.
U(t,x0+∆x) = U(t,x0)+∆xUx(t,x0)+
∆x2 2!
Uxx(t,x0)+
∆x3 3!
Uxxx(t,x0)+O(∆x4). (13)
U(t,x0+∆x) = U(t,x0)−∆xUx(t,x0)+
∆x2 2!
Uxx(t,x0)−
∆x3 3!
Uxxx(t,x0)+O(∆x4). (14) Dengan menambahkan persamaan (13) dan (14) dan dengan melakukan aproksimasi diperoleh
Uxx(tn,xi) =
U(tn,xi+1)−2U(tn,xi) + U(tn,xi−1) ∆x2
. (15)
Untuk pembahasan selanjutnya kita akan menggunakan simbol Un i untuk menyatakan U(tn,xi), atau Un i = U(tn,xi). Dari penurunan di atas kita dapat memperoleh tabel berikut yang akan membantu kita dalam mengggunakan metode beda hingga.
5
Beberapa formula metode beda hingga Turunan Parsial Aproksimasi Beda Hingga Tipe dan Orde
∂U ∂x = Ux Un i+1−Un i ∆x
Beda Maju 0orde 1
∂U ∂x = Ux Un i −Un i−1 ∆x
Beda Mundur orde 1
∂U ∂x = Ux Un i+1−Un i−1 2∆x
Beda pusat orde 2
∂2U ∂x2 = Uxx Un i+1−2Un i +Un i−1 ∆x2
turunan parsial spasial ke 2
∂U ∂t = Ut Un+1 i −Un i−1 ∆t
Beda maju orde 1
∂U ∂t = Ut Un i −Un−1 i ∆t
Beda mundur orde 1
∂U ∂t = Ut Un+1 i −Un−1 1 2∆t
Beda pusat orde 2
∂2U ∂t2 = Utt Un+1 i −2Un i +Un−1 i ∆t2
turunan parsial temporal ke 2
8 Contoh Sederhana Skema Beda Hingga
Misalkan diberikan persamaan adveksi linear berikut
Ut + vUx = 0, (16)
6
dengan variabel bebas x dan t, x menyatakan ruang dan t menyatakan waktu. Misalkan x berada di [p,q] yang disebut domain komputasi. v adalah konstanta dan variabel dependen U = U(x,t). Dalam menyelesaikan masaah ini kita memerlukan kondisi awal U(0,x) = f(x), p ≤ x ≤ q (17) dengan f(x) diketahui. Solusi dari masalah (16) dan (17) adalah fungsi yang memenuhi (16) di semua domain komputasi x dan semua t di kondisi awal. U(x,t) adalah solusi eksak yang terdefinisi pada takhingga titik (t,x). Selanjutnya kita akan mengaproksimasi U(x,t) dengan Metode Beda Hingga pada himpunan berhingga yang dinotasikan dengan u.
8.1 Langkah 1 : Diskretisasi variabel spasial
Misalkan kita membagi [p,q] dalam N grid, x1,x2,...xN, dengan mengambil ∆x yang sama, ∆x = q−p N −1 . Selanjutnya kita punya x1 = p,x2 = p + ∆x,x3 = p + 2∆x, dst sampai xN = p + (N −1)∆x = q. Dengan menetapkan untuk t = tn, kita dapat menghampiri Ux pada setiap titik (tn,xi) dengan menggunakan formula beda maju
Ux(tn,xi) ≈
Un i+1 −Un i ∆x
. (18)
Dengan menyubstituikan (18) ke (16) kita peroleh persamaan berikut
Ut + v
Un i+1 −Un i ∆x
= 0. (19)
Bentuk (19) disebut juga bentuk semi diskret karena hanya variabel spasial yang didiskretisasi.
8.2 Langkah 2: Diskretisasi variabel waktu (t)
Dengan menetapkan x di x = xi, kita dapat mengaproksimasi turunan parsial terhadap variabel waktu (turunan parsial temporal) Ut di setiap titik (tn,xi) menggunakan formula beda maju orde 1
Ut ≈
Un+1 i −Un i ∆t
. (20)
7
Selanjutnya dengan menyubstitusikan (20) ke (19) diperoleh
Un+1 i −Un i ∆t
+ v
Un i+1 −Un i ∆x
= 0,
yang memberikan
Un+1 i = Un i −
v∆t ∆x
(Un i+1 −Un i ). (21) Persamaan (21) merupakan contoh penerapan skema beda hingga untuk mengaproksimasi solusi dari PDP (16) yang disebut skema baris waktu (time-marching) karena nilai U di level waktu selanjutnya dapat diaproksimasi dengan nilai U di level waktu n. Karena semua nilai U hanya diketahui secara eksak di level waktu awal, maka bentuk (21) dapat ditulis
un+1 i = un i −
v∆t ∆x
(un i+1 −un i ), (22)
dimana un i adalah aproksimasi dari Un i = U(tn,xi). Beberapa catatan:
1. u(0,x) = U(0,x), tapi ini tidak selalu berlaku.
2. Error dari aproksimasi turunan parsial spasial dan turunan parsial temporal pada (22) adalah O(∆x) dan O(∆t) yang secara formal disebut orde 1 di ruang x dan orde satu di waktu (t).
3. Semakin besar N akan menyebabkan ∆x semakin kecil dan diharapkan hampiran akan semakin baik. Namun semakin besar N akan menyebabkan kecepatan komputasi akan semakin menurun. Sehingga perlu dipertimbangkan antara akurasi dan kecepatan.
4. Bentuk (22) disebut juga metode eksplisit karena nilai u di level waktu selanjutnya dapat diberikan dalam formula eksplisit.
9 Perhitungan dengan Pulpen dan Kertas
Dalam melakukan skema numerik kita perlu mencoba melakukan perhitungan dengan pulpen dan kertas sebelum mengimplementasikan dalam bahasa pemrograman. Hal ini karena kita perlu
1. Memahami skema numerik yang akan dijalankan.
2. Memeriksa hasil dari program komputer dengan hasil perhitungan yang kita peroleh menggunakan pulpen dan kertas.
8
Contoh: Misalkan dalam contoh sebelumnya, p = 0,q = 100, v = 0.5, dan diberikan kondisi awal U(0,x) =( e−0.01(x−45)2 20 ≤ x ≤ 70 0 lainnya (23) Misalkan banyaknya grid N = 11, maka
∆x =
100−0 11−1
= 10.
Akibatnya nilai x berkorespondensi dengan grid 0,10,20,...100 dan misalkan ∆t = 3, maka persamaan (22) menjadi un+1 i = un i −0.15(un i+1 −un i ). (24) Pada t = 0 kita dapat menggunakan kondisi awal (23). Sehingga dengan menggunakan bentuk (24) kita peroleh u1 i = u0 i −0.15(u0 i+1 −u0 i). (25) Selanjutnya dengan mengevaluasi untuk beberapa grid ke-i, i = 1,2,3,4,5 dari variabel spasial diperoleh u0 1 = u(0,x1) = u(0,0) = 0, u0 2 = u(0,x2) = u(0,10) = 0, u0 3 = u(0,x3) = u(0,20) = e−0.01(20−45)2 = 0.0019, u0 4 = 0.1054, u0 5 = 0.7788. Selanjutnya dengan menggunakan formula (25) u1 1 = u0 1 −0.15(u0 2 −u0 1) = 0−0.15(0−0) = 0, u1 2 = u0 2 −0.15(u0 3 −u0 2) = 0−0.15(0.0019−0) = −0.00029, u1 3 = −0.01363. Permasalahan yang muncul dalam metode beda maju untuk turunan parsial spasial ini adalah ketika kita akan mengevaluasi nilai di batas yaitu untuk i = 11 dalam contoh ini, dimana formula (22) membutuhkan grid berikutnya i = 12 yang tidak diketahui. Sehingga kita perlu mendefinisikan titik bantu yang disebut titik hantu (ghost point). Contoh dalam kasus ini kita bisa menggunakan x12 = 110 (tidak selalu berlaku) dan asumsi un 12 = un 111,n = 0,1,2,..., sehingga kita bisa mengevaluasi nilai di batas sebagai berikut, u111 = u011 −0.15(u0 12 −u0 11) = 0−0.15(0−0) = 0, u211 = u111 −0.15(u1 12 −u1 11) = 0−0.15(0−0) = 0, dan seterusnya.
9
References
[1] Ames, W.F., 1977, Numerical Methods for Partial Differential Equations (second Ed.), Academic Press.
[2] Butcher, C., 2008, Numerical Methods for Ordinary Differential Equation, 2nd Edition, John Wiley and Sons, Ltd., West Sussex, England
[3] D.D Causon, C.G Mingham, 2010, introductory Finite Difference Methods for PDEs, Ventus Publishing Aps,ISBN 978-87-7681-642-1.
[4] Lapidus, L. dan Seinfeld, J.H., 1971, Numerical Solution of Ordinary Differential Equation, Academic Press Inc., New York, USA.
[5] Morton, K.W., Mayers, D, 2005, Numerical Solution of Partial Diferential Equations, 2nd Ed., Cambridge University Press, UK.

ANALISIS REGRESI SEDERHANA

                    ANALISIS REGRESI LINIER SEDERHANA

 

PENGERTIAN ANALISIS REGRESI SEDERHANA

 

 

 

 

 

 

 

 

Analisis regresi linier sederhana adalah hubungan secara linear antara satu variabel independen (X) dengan variabel dependen (Y). Analisis ini untuk mengetahui arah hubungan antara variabel independen dengan variabel dependen apakah positif atau negatif dan untuk memprediksi nilai dari variabel dependen apabila nilai variabel independen mengalami kenaikan atau penurunan.. Data yang digunakan biasanya berskala interval atau rasio.

Rumus regresi linear sederhana sebagi berikut:

Y’ = a + bX

Keterangan:

Y’ = Variabel dependen (nilai yang diprediksikan)

X   = Variabel independen

a    = Konstanta (nilai Y’ apabila X = 0)

         b    = Koefisien regresi (nilai peningkatan ataupun penurunan)

Contoh kasus:

Seorang mahasiswa bernama Hermawan ingin meneliti tentang pengaruh biaya promosi terhadap volume penjualan pada perusahaan jual beli motor. Dengan ini di dapat variabel dependen (Y) adalah volume penjualan dan variabel independen (X) adalah biaya promosi. Dengan ini Hermawan menganalisis dengan bantuan program SPSS dengan alat analisis regresi linear sederhana. Data-data yang di dapat ditabulasikan sebagai berikut:

                     Tabel. Tabulasi Data Penelitian (Data Fiktif)

No	Biaya Promosi	Volume Penjualan
1	12,000	56,000
2	13,500	62,430
3	12,750	60,850
4	12,600	61,300
5	14,850	65,825
6	15,200	66,354
7	15,750	65,260
8	16,800	68,798
9	18,450	70,470
10	17,900	65,200
11	18,250	68,000
12	16,480	64,200
13	17,500	65,300
14	19,560	69,562
15	19,000	68,750
16	20,450	70,256
17	22,650	72,351
18	21,400	70,287
19	22,900	73,564
20	23,500	75,642

Langkah-langkah pada program SPSS

 

Ø  Masuk program SPSS

Ø  Klik variable view pada SPSS data editor

Ø  Pada kolom Name ketik y, kolom Name pada baris kedua ketik x.

Ø  Pada kolom Label, untuk kolom pada baris pertama ketik Volume Penjualan, untuk kolom pada baris kedua ketik Biaya Promosi.

Ø  Untuk kolom-kolom lainnya boleh dihiraukan (isian default)

Ø  Buka data view pada SPSS data editor, maka didapat kolom variabel y dan x.

Ø  Ketikkan data sesuai dengan variabelnya

Ø  Klik Analyze  - Regression - Linear

Ø  Klik variabel Volume Penjualan dan masukkan ke kotak Dependent, kemudian klik variabel Biaya Promosi dan masukkan ke kotak Independent.

Ø  Klik Statistics, klik Casewise diagnostics, klik All cases. Klik Continue

Ø Klik OK, maka hasil output yang didapat pada kolom Coefficients dan Casewise Diagnostics adalah sebagai berikut:

              Tabel. Hasil Analisis Regresi Linear Sederhana

Persamaan regresinya sebagai berikut:

Y’ = a + bX

Y’ =  -28764,7 + 0,691X

Angka-angka ini dapat diartikan sebagai berikut:

- Konstanta sebesar -28764,7; artinya jika biaya promosi (X) nilainya adalah 0, maka volume penjulan (Y’) nilainya negatif yaitu sebesar -28764,7.

-  Koefisien regresi variabel harga (X) sebesar 0,691; artinya jika harga mengalami kenaikan Rp.1, maka volume penjualan (Y’) akan mengalami peningkatan sebesar Rp.0,691. Koefisien bernilai positif artinya terjadi hubungan positif antara harga dengan volume penjualan, semakin naik harga maka semakin meningkatkan volume penjualan. 

Nilai volume penjualan yang diprediksi (Y’) dapat dilihat pada tabel Casewise Diagnostics (kolom Predicted Value). Sedangkan Residual (unstandardized residual) adalah selisih antara Volume Penjualan dengan Predicted Value, dan Std. Residual (standardized residual) adalah nilai residual yang telah terstandarisasi (nilai semakin mendekati 0 maka model regresi semakin baik dalam melakukan prediksi, sebaliknya semakin menjauhi 0 atau lebih dari 1 atau -1 maka semakin tidak baik model regresi dalam melakukan prediksi).

-     Uji Koefisien Regresi Sederhana (Uji t)

 

Uji ini digunakan untuk mengetahui apakah variabel independen (X) berpengaruh secara signifikan terhadap variabel dependen (Y). Signifikan berarti pengaruh yang terjadi dapat berlaku untuk populasi (dapat digeneralisasikan).

Dari hasil analisis regresi di atas dapat diketahui nilai t hitung seperti pada tabel 2. Langkah-langkah pengujian sebagai berikut:

1.   Menentukan Hipotesis

Ho   : Ada pengaruh secara signifikan antara biaya promosi dengan volume penjualan

Ha :    Tidak ada pengaruh secara signifikan antara biaya promosi dengan volume penjualan

2.   Menentukan tingkat signifikansi

Tingkat signifikansi menggunakan a = 5% (signifikansi 5% atau 0,05 adalah ukuran standar yang sering digunakan dalam penelitian)

      3.   Menentukan t hitung

Berdasarkan tabel  diperoleh t hitung sebesar 10,983

      4.   Menentukan t tabel

Tabel distribusi t dicari pada a = 5% : 2 = 2,5% (uji 2 sisi) dengan derajat kebebasan (df) n-k-1 atau  20-2-1  = 17 (n adalah jumlah kasus dan k adalah jumlah variabel independen). Dengan pengujian 2 sisi (signifikansi = 0,025) hasil diperoleh untuk t tabel sebesar 2,110 (Lihat pada lampiran) atau dapat dicari di Ms Excel dengan cara pada cell kosong ketik =tinv(0.05,17) lalu enter.

5.   Kriteria Pengujian

Ho diterima jika –t tabel < t hitung < t tabel

            Ho ditolak jika -thitung < -t tabel atau t hitung > t tabel

6.   Membandingkan t hitung dengan t tabel

Nilai t hitung > t tabel (10,983 > 2,110) maka Ho ditolak.

7.  Kesimpulan

Oleh karena nilai t hitung > t tabel (10,983 > 2,110) maka Ho ditolak, artinya bahwa ada pengaruh secara signifikan antara biaya promosi dengan volume penjualan. Jadi dalam kasus ini dapat disimpulkan bahwa biaya promosi berpengaruh terhadap volume penjualan pada perusahaan jual beli motor.

UJI NOVA

Pengertian ANOVA

Anova adalah sebuah analisis statistik yang menguji perbedaan rerata antar grup. Grup disini bisa berarti kelompok atau jenis perlakuan. Anova ditemukan dan diperkenalkan oleh seorang ahli statistik bernama Ronald Fisher.

Anova merupakan singkatan dari Analysis of variance. Merupakan prosedur uji statistik yang mirip dengan t test. Namun kelebihan dari Anova adalah dapat menguji perbedaan lebih dari dua kelompok. Berbeda dengan independent sample t test yang hanya bisa menguji perbedaan rerata dari dua kelompok saja.

Dalam kesempatan bahasan kali ini, statistikian akan menjelaskannya secara singkat namun dengan penuh harapan agar para pembaca mudah memahami dan mempraktekkannya dalam penelitian di lapangan nantinya.

Kegunaan Anova

Anova digunakan sebagai alat analisis untuk menguji hipotesis penelitian yang mana menilai adakah perbedaan rerata antara kelompok. Hasil akhir dari analisis ANOVA adalah nilai F test atau F hitung. Nilai F Hitung ini yang nantinya akan dibandingkan dengan nilai pada tabel f. Jika nilai f hitung lebih dari f tabel, maka dapat disimpulkan bahwa menerima H1 dan menolak H0 atau yang berarti ada perbedaan bermakna rerata pada semua kelompok.

Analisis ANOVA sering digunakan pada penelitian eksperimen dimana terdapat beberapa perlakuan. Peneliti ingin menguji, apakah ada perbedaan bermakna antar perlakuan tersebut.

Contoh ANOVA

Contohnya adalah seorang peneliti ingin menilai adakah perbedaan model pembelajaran A, B dan C terhadap hasil pembelajaran mata pelajaran fisika pada kelas 6. Dimana dalam penelitian tersebut, kelas 6A diberi perlakuan A, kelas 6B diberi perlakuan B dan kelas 6C diberi perlakuan C. Setelah adanya perlakuan selama satu semester, kemudian dibandingkan hasil belajar semua kelas 6 (A, B dan C). Masing-masing kelas jumlahnya berkisar antara 40 sampai dengan 50 siswa.

ANOVA

Hasil akhir yang didapatkan adalah nilai f hitung. Nilai tersebut dibandingkan dengan nilai dalam tabel f pada derajat kebebasan tertentu (degree of freedom). Jika F hitung > F Tabel, maka disimpulkan bahwa menerima H1 atau yang berarti ada perbedaan secara nyata atau signifikan hasil ujian siswa antar perlakuan model pembelajaran.

Anova Dalam Regresi Linear

Kadang para pembaca cukup dibingungkan oleh adanya tabel ANOVA pada hasil analisis regresi linear. Tentunya jika anda mengerti maksud sesungguhnya dari uji yang satu ini, maka anda tidak akan bingung lagi. Anova dalam perhitungannya membandingkan nilai mean square dan hasilnya adalah menilai apakah model prediksi linear tidak berbeda nyata dengan nilai koefisien estimasi dan standar error.

Ciri-ciri ANOVA

Ciri khasnya adalah adanya satu atau lebih variabel bebas sebagai faktor penyebab dan satu atau lebih variabel response sebagai akibat atau efek dari adanya faktor. Contoh penelitian yang dapat menggambarkan penjelasan ini: “Adakah pengaruh jenis bahan bakar terhadap umur thorax mesin.” Dari judul tersebut jelas sekali bahwa bahan bakar adalah faktor penyebab sedangkan umur thorax mesin adalah akibat atau efek dari adanya perlakuan faktor. Ciri lainnya adalah variabel response berskala data rasio atau interval (numerik atau kuantitatif).

Anova merupakan salah satu dari berbagai jenis uji parametris, karena mensyaratkan adanya distribusi normal pada variabel terikat per perlakuan atau distribusi normal pada residual. Syarat normalitas ini mengasumsikan bahwa sample diambil secara acak dan dapat mewakili keseluruhan populasi agar hasil penelitian dapat digunakan sebagai generalisasi. Namun keunikannya, uji ini dapat dikatakan relatif robust atau kebal terhadap adanya asumsi tersebut.

Jenis ANOVA

Jenisnya adalah berdasarkan jumlah variabel faktor (independen variable atau variabel bebas) dan jumlah variabel responsen (dependent variable atau variabel terikat). Pembagiannya adalah sebagai berikut:

Univariat:
1. Univariate One Way Analysis of Variance. Apabila variabel bebas dan variabel terikat jumlahnya satu.
2. Univariate Two Way Analysis of Variance. Apabila variabel bebas ada 2, sedangkan variabel terikat ada satu.
3. Univariate Multi way Analysis of Variance. Apabila variabel bebas ada > 2, sedangkan variabel terikat ada satu.

Multivariat:
1. Multivariate One Way Analysis of Variance. Apabila variabel bebas dan variabel terikat jumlahnya lebih dari satu.
2. Multivariate Two Way Analysis of Variance. Apabila variabel bebas ada 2, sedangkan variabel terikat jumlahnya lebih dari satu.
3. Multivariate Multi way Analysis of Variance. Apabila variabel bebas ada > 2, sedangkan variabel terikat jumlahnya lebih dari satu.

Jenis lain yang menggunakan prinsip ini adalah:

1. Repeated Measure Analysis of variance.
2. Analysis of Covariance (ANCOVA).
3. Multivariate Analysis of covariance (MANCOVA).

Demikian di atas telah kita bahas secara singkat perihal ANOVA. Tentunya artikel ini sangatlah terbatas dan tidak cukup untuk membuat anda mahir dapat dapat melakukan uji tersebut dalam penelitian anda. Maka dari itu, statistikian telah membuat berbagai artikel yang kiranya dapat membantu para pembaca sekalian.

UJI CHI KUADRAT

                                           UJI  CHI  KUADRAT (χ²) 

1.  Pendahuluan

Uji Chi Kuadrat adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara :       frekuensi observasi/yg benar-benar terjadi/aktual        dengan                   frekuensi harapan/ekspektasi

1.1.  Pengertian Frekuensi Observasi dan Frekuensi Harapan

    frekuensi observasi  →  nilainya didapat dari hasil percobaan (o)           frekuensi harapan  → nilainya dapat dihitung secara teoritis (e)

Contoh :

1.  Sebuah dadu setimbang dilempar sekali (1 kali) berapa nilai ekspektasi sisi-1, sisi-2,  sisi-3, sisi-4, sisi-5 dan sisi-6 muncul?

kategori :

sisi1
sisi-2 sisi3
sisi-4 sisi5
sisi6
frekuensi ekspektasi (e)
 16 16  1 6 16  1 6 16


2. Sebuah dadu setimbang dilempar 120 kali berapa nilai ekspektasi sisi-1, sisi-2,  sisi-3, sisi-4, sisi-5 dan sisi-6 muncul?   kategori :
 sisi1 sisi2 sisi3 sisi4 sisi5 sisi6 frekuensi   ekspektasi (e) 20*) 20 20 20 20 20


 *) setiap  kategori memiliki frekuensi ekspektasi yang sama yaitu :16 x 120 = 20 

 Apakah data observasi akan sama dengan ekspektasi?  Apakah jika anda melempar dadu 120 kali maka pasti setiap sisi akan muncul  sebanyak 20 kali?   Coba lempar dadu sebanyak 120 kali, catat hasilnya, berapa frekuensi  kemunculan  setiap sisi?             Catatan saudara tersebut adalah frekuensi observasi.

Uji X2 / thomas yuni gunarto / hal 1 dari 10  
 
1.2.  Bentuk Distribusi Chi Kuadrat ( χ ²)

Nilai χ² adalah nilai kuadrat karena itu nilai χ² selalu positif.  

Bentuk distribusi χ² tergantung dari derajat bebas(db)/degree of freedom. Perhatikan Tabel hal 178 dan 179 (Buku Statistika-2, Gunadarma). Anda bisa membacanya?


Contoh :  Berapa nilai χ² untuk  db =  5 dengan α = 0.010?    (15.0863)   Berapa nilai χ² untuk  db =  17 dengan α = 0.005?  (35.7185)


Pengertian α pada Uji χ² sama dengan pengujian hipotesis yang lain, yaitu luas daerah penolakan H0 atau taraf nyata pengujian 


Perhatikan gambar berikut :

 


         α : luas daerah penolakan H0 = taraf nyata pengujian  


       0              + ∞

1.3. Pengunaan Uji  χ ²

Uji χ²  dapat digunakan untuk :  

a.   Uji Kecocokan = Uji kebaikan-suai = Goodness of fit test  b.  Uji Kebebasan  c.  Uji beberapa proporsi 

Prinsip pengerjaan (b) dan (c) sama saja

2. Uji Kecocokan (Goodness of fit test)

2.1 Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif

H0:  frekuensi setiap kategori memenuhi suatu nilai/perbandingan.  H1 : Ada kategori yang tidak memenuhi nilai/perbandingan tersebut.



Uji X2 / thomas yuni gunarto / hal 2 dari 10  
 
Contoh 1 :


Pelemparan dadu 120 kali, kita akan menguji kesetimbangan dadu .  Dadu setimbang jika setiap sisi dadu akan muncul 20 kali. H0 : setiap sisi akan muncul = 20 kali.  H1 : ada sisi yang muncul ≠20 kali.

Contoh 2 :

Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara  Coklat :  Gula :  Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1 H0 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim =  5 : 2 : 2 : 1 H1 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 : 1

2.2  Rumus  χ ²

  
χ 2
2
1
=
−
= ∑ () oe e ii ii k



   k  :  banyaknya kategori/sel, 1,2 ... k  
 o :  frekuensi observasi untuk kategori  ke-i i 
 e :  frekuensi ekspektasi untuk kategori ke-i   i         kaitkan dengan frekuensi ekspektasi dengan nilai/perbandingan dalam H0

Derajat Bebas (db) = k - 1
 

2.3 Perhitungan χ ²

Contoh  3 : Pelemparan dadu sebanyak 120 kali menghasilkan data sebagai berikut :   kategori :
 sisi-1 sisi-2 sisi-3 sisi-4 sisi-5 sisi-6
frekuensi observasi
        20 20    
       20 22
         20 17
      20 18
      20 19
       20 24

*) Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi

Apakah dadu itu dapat dikatakan setimbang? Lakukan pengujian dengan taraf nyata = 5 %

Solusi  :
Uji X2 / thomas yuni gunarto / hal 3 dari 10  
 
1. H0 : Dadu setimbang → semua sisi akan muncul = 20 kali.  H1 : Dadu tidak setimbang → ada sisi yang muncul ≠20 kali.

2. Statistik Uji χ²

3. Nilai α = 5 % = 0.05  k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5

4. Nilai Tabel χ²    k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5 db = 5;α = 0.05 → χ² tabel = 11.0705

5. Wilayah Kritis = Penolakan H0 jika  χ² hitung  > χ² tabel (db; α)                 χ² hitung > 11.0705

6.  Perhitungan χ²  


χ 2
2
1
=
−
= ∑ () oe e ii ii k 

 (catatan : Gunakan tabel seperti ini agar pengerjaan lebih sistematik)   kategori : oi ei (o-e ) i i (o-e )² i i (o-e )²/e i i i sisi-1  20  20  0  0  0 sisi-2  22  20  2  4  0.20 sisi-3  17  20 -3  9  0.45 sisi-4  18  20 -2  4  0.20 sisi-5  19  20 -1  1  0.05 sisi-6  24  20  4 16  0.80 Σ 120 120 --------- -------------- 1.70

     χ²  hitung = 1.70

7. Kesimpulan :  χ²  hitung = 1.70 <  χ² tabel   Nilai χ²  hitung ada di daerah penerimaan H0  H0 diterima; pernyataan dadu setimbang dapat diterima.

Contoh 4 :

Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara Coklat :  Gula :  Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1.  Jika 500 kg adonan yang dihasilkan,  diketahui mengandung 275 kg Coklat, 95 kg Gula, 70 kg Susu dan 60 kg Krim, apakah mesin itu bekerja sesuai  dengan perbandingan yang telah ditentukan?  Lakukan pengujian dengan taraf nyata = 1 %.

Uji X2 / thomas yuni gunarto / hal 4 dari 10  
 
Solusi : 1.  H0 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim  =  5 : 2 : 2 : 1      H1 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim  ≠ 5 : 2 : 2 : 1


2. Statistik Uji χ²

3. Nilai α = 1 % = 0.01

4. Nilai Tabel χ² k = 4;  db =k -1 = 4-1= 3 db = 3; α = 0.01 → χ² tabel = 11.3449

5. Wilayah Kritis = Penolakan H0 jika  χ² hitung  > χ² tabel (db; α)                χ² hitung  > 11.3449

6.  Perhitungan χ²

χ 2
2
1
=
−
= ∑ ( oe e ii ii k ) 


kategori : oi ei (o-e ) i i (o-e )² i i (o-e )²/e i i i Coklat 275 250*)    25 625    2.50 Gula   95 100      -5  25    0.25 Susu   70 100   -30 900    9.00 Krim   60   50    10 100    2.00 Σ 500 500 ----------- --------  13.75


*) Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 :1  Dari 500 kg adonan → Nilai ekspektasi  Coklat = 5/10 x 500 = 250 kg     Nilai ekspektasi  Gula =  2/10 x 500 = 100 kg      Nilai ekspektasi  Susu = 2/10 x 500 = 100 kg     Nilai ekspektasi  Krim =  1/10 x 500 =   50 kg

χ² hitung = 13.75



7.  Kesimpulan :  χ² hitung >  χ² tabel ( 13.75 > 11.3449)   H0 ditolak, H1  diterima.   Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 :1 



Uji X2 / thomas yuni gunarto / hal 5 dari 10  
 
3. Uji Kebebasan dan Uji Beberapa Proporsi

Uji kebebasan antara 2 variabel memiliki prinsip pengerjaan yang sama dengan pengujian beberapa proporsi.  (Berbeda hanya pada penetapan Hipotesis awal dan hipotesis alternatif)


3.1 Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif 

A. Uji Kebebasan :

H0  :   variabel-variabel saling bebas        H1  : variabel-variabel tidak saling bebas  

B Uji Beberapa Proporsi :

H0 :    setiap proporsi bernilai sama     H1 : ada  proporsi yang bernilai tidak sama  

3.2 Rumus Uji χ 2

Data dalam pengujian ketergantungan dan beberapa proporsi disajikan dalam bentuk Tabel Kontingensi. Bentuk umum Tabel Kontingensi → berukuran r baris x k kolom


frekuensi harapan
total kolom total baris total observasi
      
   x   
 = () ()



                  
χ 2
2
1
=
−
= ∑ () , , oe e ij ij ijij rk


                  derajat bebas = (r-1)(k-1)                   r : banyak baris                   k : banyak kolom                  o : frekuensi observasi baris ke-i, kolom ke-j  ij ,                e : frekuensi ekspektasi baris ke-i, kolom ke-j ij ,

Uji X2 / thomas yuni gunarto / hal 6 dari 10  
 
3.3 Perhitungan χ ²

Contoh 5 :     

Kita akan  menguji kebebasan antara faktor gender (jenis kelamin) dengan jam kerja di suatu pabrik.  Tabel kontingensi dapat dibuat sebagai berikut :

 pria  wanita Total Baris Kurang dari 25 jam/minggu        2.33  2      2.67 3          5 25 sampai 50 jam/minggu        6.07   7      6.93 6      13 lebih dari 50 jam/minggu        5.60 5      6.40 7
 12 Total Kolom 

14
  

16 
Total Observasi=  

30 *)  Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi Perhatikan cara mendapatkan frekuensi ekspektasi!

Apakah ada kaitan antara gender dengan jam kerja?   Lakukan pengujian  kebebasan variabel dengan taraf uji 5 % Ukuran Tabel Kontingensi  di atas = 3 x 2 ( 3 baris dan 2 kolom) db = (3-1)(2-1) = 2 x 1 = 2

Solusi : 1. H0  :    Gender  dan Jam kerja saling bebas    H1  :     Gender dan Jam kerja tidak saling bebas

2. Statistik Uji = χ²

3. Nilai
 α = 5 % = 0.05

4. Nilai Tabel χ²  db = 2; α = 0.05 → χ² tabel  = 5.99147 5. Wilayah Kritis : Penolakan H0 → χ² hitung > χ² tabel        


 χ² hitung > 5.99147

6. Perhitungan χ² 

frekuensi harapan
total kolom total baris total observasi
      
    x      = () ()

      frekuensi harapan untuk :  pria, < 25 jam  =  14
233
 x 5 30
= .     pria, 25-50 jam =  14 x13 30
= 6.07

Uji X2 / thomas yuni gunarto / hal 7 dari 10  
 
pria, > 50 jam   = 
14 x 12 30
 5.60=

wanita, < 25 jam  = 
16
267
 x 5 30
= .     wanita, 25-50 jam = 16 x13 30
= 6.93
     wanita, > 50 jam =  16 x 12 30 6.40=

Selesaikan Tabel perhitungan χ²  di bawah ini. kategori : oi ei (o-e ) i i (o-e )² i i (o-e )²/e i i i P, < 25  2 2.33  -0.33 0.1089 0.1089/2.33 =  0.0467 P, 25 - 50  7 6.07   0.93 0.8649                         0.1425 P, > 50  5 5.60 -0.60 0.36                         0.0643 W, < 25  3 2.67  0.33 0.1089                         0.0408 W, 25-50  6 6.93 -0.93 0.8649                         0.1249 W, >50  7 6.40  0.60 0.36                         0.0563 Σ ------ ----- -------- --------- χ² hitung =       0.4755         7. Kesimpulan  χ² hitung < χ² tabel (0.4755 < 5.99147)  χ² hitung ada di daerah penerimaan H0  H0 diterima, gender dan jam kerja saling bebas

Catatan :  Kesimpulan hanya menyangkut kebebasan antar variabel dan bukan     hubungan sebab-akibat (hubungan kausal)

Contoh 6 : Berikut adalah data proporsi penyiaran film(satuan pengukuran dalam persentase (%) jam siaran TV) di 3 stasiun TV.  Apakah proporsi pemutaran Film India, Kungfu dan Latin di ketiga stasiun Tv tersebut sama?   Lakukan Pengujian proporsi dengan Taraf Nyata = 2.5 %


 
ATV (%) BTV (%) CTV (%) Total Baris (%)
Film India        4.17 4.5
        2.92 3.5
        2.92 2.0
             10
Film Kungfu        3.33 2.5
        2.33  1.0
        2.33 4.5
               8
Film Latin       2.50   3.0
        1.75 2.5
        1.75 0.5
                6
Total Kolom                (%)

10
   7
    7
Total Observasi (%) =         24  *)  Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi Perhatikan cara mendapatkan frekuensi ekspektasi!

Ukuran Tabel Kontingensi  di atas = 3 x 3( 3 baris dan 3 kolom) db = (3-1)(3-1) = 2 x 2 =  4

Uji X2 / thomas yuni gunarto / hal 8 dari 10  
 
Solusi :

1. H0 :     Proporsi pemutaran film India, Kungfu dan Latin di ketiga stasiun  TV adalah sama. H1 :    Ada  proporsi pemutaran film India, Kunfu dan Latin di ketiga stasiun TV yang tidak sama.

2. Statistik Uji = χ²

3. Nilai
 α = 2.5 % = 0.025

4. Nilai Tabel χ² db = 4; α = 0.025 → χ² tabel  = 11.1433

5. Wilayah Kritis : Penolakan H0 →  χ² hitung > χ² tabel      


   χ² hitung > 11.1433 6. Perhitungan χ²  frekuensi harapan untuk     

India, ATV = 
10
417
 10 24 ×
= .  Kungfu, ATV =
10
333
×
=
8
24
.

     
   Latin, ATV =  10 250 × = 6 24 .

India, BTV = 
7
292
×
=
10 24
.   Kungfu,BTV = 7
233
×
=
8 24
.
        Latin,BTV =  7 175 × = 6 24 .         India,CTV=
 7 292 × = 10 24 .   Kungfu,CTV =
7
233
×
=
8 24
.
     

  Latin, CTV = 7 175 x 6 24 = .

Uji X2 / thomas yuni gunarto / hal 9 dari 10  
 
Tabel perhitungan  χ² berikut 

kategori : oi ei (o-e ) i i (o-e )² i i (o-e )²/e i i i Ind,ATV  4.5  4.17   0.33 0.1089 0.1089/4.17 = 0.0261 Kf,ATV  2.5 3.33 -0.83 0.6889                        0.2069 Lat,ATV  3.0 2.50   0.50 0.2500                        0.1000 Ind,BTV  3.5 2.92 -0.58 0.3364                        0.1152 Kf,BTV  1.0 2.33 -1.33 1.7689                        0.7592 Lat,BTC   2.5 1.75   0.75 0.5625                        0.3214 Ind,CTV  2.0 2.92 -0.92 0.8464                        0.2899 Kf,CTV  4.5 2.33  2.17 4.7089                        2.0201 Lat,CTV  0.5 1.75 -1.25 1.5625                        0.8929 Σ  24 ------ ------- --------- χ² hitung =      4.7317     
 7. Kesimpulan : χ² hitung terletak di daerah penerimaan H0. H0 diterima,  proporsi pemutaran ketiga jenis film di ketiga s     stasiun TV adalah sama.


♥